모든 것은 로그다

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로그를 숫자 함수가 아니라 밑 없는 로그라는 추상 객체의 비율로 보면, (\log_b N = \log N / \log b)는 단위 변환처럼 읽힘
(\log 2)는 bits, (\log e)는 nats 같은 측정 단위가 되며, 밑변환 공식은 같은 양을 다른 단위로 쓰는 과정과 닮음
(p)-adic valuation, 영점·극점의 차수, 미분의 성분 추출은 모두 로그 성분의 투영처럼 해석될 수 있음
벡터를 이동 연산자의 로그로, 차원을 유한체 위 벡터공간 크기의 로그로, 기저를 로그가 반환하는 객체로 보는 여러 대응이 이어짐
전체 논의는 엄밀한 통일 정리라기보다 표기와 구조의 중복을 추적하는 탐색이며, 좌표와 단위를 분리하는 수학적 관점이 이런 패턴을 정리할 수 있음

밑 없는 로그와 단위 변환

일반적인 로그는 (\log_b x)처럼 밑 (b)를 명시해 (b^y=x)의 해를 나타냄
밑변환 공식 (\log_b x = \log_a x / \log_a b)는 단위 변환과 비슷하게 해석됨
- (2 \text{ km} = 2000 \text{ m} / (1000 \text{ m}/1 \text{ km}))와 같은 구조임
- “(x) 안에 (b)가 몇 개 들어 있는가”는 “(x) 안의 (a) 개수”를 “(b) 안의 (a) 개수”로 나눈 값으로 볼 수 있음
(\log N)을 숫자가 아닌 추상 객체로 두면, 밑이 있는 로그는 두 밑 없는 로그의 비율이 됨
- (\log_2 N = \log N / \log 2)
- (\log 2)는 “bits”라는 단위처럼 다룸
- (\log e)는 “nats”라는 단위처럼 다룸
이 관점에서 (\log N)은 직접 수치 의미를 갖지 않고, (\log b)로 나눌 때 특정 단위의 수치가 됨
밑 없는 지수 ((*)^{\log N}) 같은 대응물은 의미 있게 만들 방법이 없다고 봄
- 기존 (\log_b N)은 (\log N)과 (\log b)라는 두 단위 없는 객체의 비율로 정리됨

로그와 벡터의 유사성

좌표 없는 기하적 벡터와 특정 좌표계의 좌표 벡터를 구분하듯, (\log N)도 특정 밑을 고르기 전의 객체로 볼 수 있음
벡터 (\mathbf{v})를 기준 벡터 (\mathbf{x})로 나누어 성분을 측정하는 비표준 표기와, (\log N / \log 2)로 bits 단위 값을 얻는 방식이 같은 구조를 가짐
- (\mathbf{v}/\mathbf{x}=v_x)
- (\log N / \log 2=\log_2 N)
같은 로그를 서로 다른 단위로 쓰는 식은 같은 벡터를 서로 다른 기저로 쓰는 식과 대응함
- (\log N = \log_2(N)\text{ bits} = \ln(N)\text{ nats})
- (\mathbf{v}=v_x\mathbf{x}=v_{x'}\mathbf{x'})
밑변환 공식은 벡터의 좌표 변환과 같은 역할을 함
- (\log_2 N = \log_2(e)\ln N)
- (v_x = (\mathbf{x'}/\mathbf{x})v_{x'})

로그 성분을 추출하는 연산들

일반 로그에는 편미분처럼 특정 성분만 꺼내는 부분 투영 표기가 없음
- (N=2^a3^b)일 때 (\log N/\log 2 = a + b\log_2 3)처럼 전체가 한 단위로 측정됨
- (\log 2) 성분과 (\log 3) 성분을 따로 추출하는 표준 로그 표기는 없음
정수론의 p-adic valuation은 자연수의 소인수분해에서 (\log p) 성분의 계수를 꺼내는 연산처럼 해석됨
- (\log n = n_2\log2+n_3\log3+n_5\log5+\cdots)
- (\nu_p(n)=n_p)
- (\nu_p(m/n)=\nu_p(m)-\nu_p(n)) 같은 로그적 항등식도 유지됨
유리수나 근호가 포함된 수로 확장하면 계수는 정수 또는 유리수가 되며, 결과 객체는 실제 벡터공간에 가까워짐
복소해석의 영점 또는 극점의 차수도 비슷한 로그 비율의 극한으로 표현됨
- (\text{ord}a f(z)=\lim{z\to a}\log f(z)/\log(z-a))
- 로랑 급수에서 가장 지배적인 항의 차수를 추출함
(p)-adic valuation, 편미분, 복소해석의 차수 추출은 서로 닮았지만, 이를 묶는 통일 이론은 아직 명확하지 않음

벡터도 로그로 볼 수 있는 경우

미분기하에서 벡터는 편미분 연산자의 기저로 쓰이며, 이를 지수화하면 이동 연산자가 됨
- (T^{\mathbf{v}}=e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y})
- (e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y}f(x,y)=f(x+v_x,y+v_y))
평탄한 공간에서는 이동 연산자가 좌표별 이동의 곱으로 분해됨
- (T^{\mathbf{v}}=T_x^{v_x}T_y^{v_y})
- 비평탄 공간에서는 서로 다른 좌표의 이동이 교환되지 않을 수 있어 더 복잡함
이때 벡터는 이동 연산자의 로그로 표현될 수 있음
- (\ln T^{\mathbf{v}}=v_x\partial_x+v_y\partial_y)
자연로그의 밑 (e)에 의존하기보다, 일반적인 이동의 밑 (T)를 두고 (\mathbf{v}=\log_T T^{\mathbf{v}})처럼 쓰는 편이 더 적절해 보임
일반 곱셈도 (\ln a) 좌표에서의 이동으로 볼 수 있지만, 이 해석이 실제로 유용할지는 분명하지 않음

로그와 도함수의 관계

자연로그는 (\ln x=\lim_{a\to0}(x^a-1)/a)로 정의될 수 있음
- (x^a=e^{a\ln x})를 테일러 전개하면 (\ln x)가 나옴
((1+x))를 대입하면 (\ln(1+x))의 테일러 급수가 재현됨
- (x-\frac12x^2+\frac13x^3-\cdots)
이 식은 도함수처럼 보이며, (\ln x=\partial_y x^y|_{y=0})로 쓸 수 있음
(\ln x)는 여러 면에서 (x^0)처럼 동작함
- (\ln x\sim (x^0-1)/0)
- 형식적으로 (\partial_x\ln x=\partial_x((x^0-1)/0)=1/x)처럼 보임
이 부분은 글의 다른 논의와 직접 연결되지는 않지만, 로그를 (x^0) 주변의 1차 변화로 보는 관점을 더함

차원은 로그처럼 동작함

유한차원 벡터공간에서 (\dim_K)는 로그와 유사한 항등식을 가짐
- (\dim_K K^n=n)
- (\dim_K(U\oplus V)=\dim_KU+\dim_KV)
- (\dim_K(U/V)=\dim_KU-\dim_KV)
- (\dim_K(U\otimes V)=\dim_KU\times\dim_KV)
유한체 (K) 위의 유한차원 벡터공간 (V\simeq K^n)에서는 크기와 차원 사이에 실제 로그 관계가 성립함
- 벡터는 기저 각 원소에 (K)의 계수를 배정하는 함수로 볼 수 있음
- (|V|=|K|^{\dim_K V})
- 따라서 (\dim_K V=\log_{|K|}|V|)
무한차원이나 무한체에서는 이 해석이 덜 견고하며, cardinality 대신 numerosity) 같은 다른 크기 개념이 필요할 수 있음
밑 없는 차원 표기를 쓰면 (\dim K^n=n\dim K), (\dim_K V=\dim V/\dim K)처럼 표현됨
텐서곱에서는 단순히 차원을 곱하면 (\dim K)가 한 번 더 생기므로, (K)에 대한 텐서곱 (\otimes_K)가 스칼라 계수의 몫을 통해 그 요인을 제거한다고 해석함

기저와 span을 로그와 지수처럼 보기

차원이 기저의 cardinality라면, 로그는 cardinality가 아니라 기저 자체를 반환한다고 볼 수 있음
- (V\simeq K^3)의 기저가 ((\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}))라면 (\log_K V=(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}))처럼 쓸 수 있음
- (\dim_KV=|\log_KV|)
특정 기저 하나를 고르는 문제가 있어, (\log_KV)는 (V)의 가능한 모든 기저를 함께 가리키는 객체로 보는 편이 더 맞을 수 있음
- 임의의 기준 프레임 (X_0)와 (\Lambda\in GL(V))에 대해 (X={\Lambda X_0\mid \Lambda\in GL(V)})
- 이 객체는 (GL(V))-torsor로 볼 수 있음
로그의 역방향 연산은 벡터공간을 기저에서 복원하는 span으로 해석됨
- (\span_K(X)=K^X=V)
이 해석은 표기 남용이 많고 최선인지 확실하지 않지만, (\dim)과 (\span)을 선형대수의 (\log)와 (\exp) 유사물로 생각하게 함
밑 없는 로그의 관점에서 (\log K) 자체를 “(K)의 기저”처럼 해석할 가능성도 있지만, 이 부분은 더 추상적인 후속 논의로 남음

함수와 로그의 관계에 대한 추측

산술 연산을 집합 연산으로 올려 보는 절차를 “setification”에 가까운 것으로 다룸
- 자연수 덧셈, 곱셈, 거듭제곱은 각각 집합의 분리합, 곱, 함수 집합과 대응함
- 유한집합에서는 cardinality가 이 연산들을 잘 보존함
예를 들어 (A={a,b}), (X={x,y})일 때 ((a+b)^{x+y})를 전개하면 (X\to A) 함수 4개를 항으로 나열할 수 있음
- (a^xb^y)는 (x\mapsto a), (y\mapsto b)인 함수처럼 해석됨
- 변수를 일부 (0)이나 (1)로 두면 함수 평가나 제한처럼 동작함
팩토리얼과 조합도 비슷한 방식으로 순열과 조합을 항으로 열거할 수 있음
보통 함수 (f:X\to A)는 관계 ({(x,f(x))\mid x\in X})로 모델링되지만, (a^xb^y) 자체는 하나의 함수라 cardinality가 1임
(\log f ? x\log a+y\log b)는 함수의 관계 표현과 닮았지만, 이 부분은 아직 설명이 충분히 정리되지 않음

일반 공변성과 결론

전체 논의는 로그를 곱셈적 표현을 덧셈적 표현으로 바꾸는 동형으로 보는 단순한 경우에 집중함
- 복소 로그나 행렬 로그처럼 더 복잡한 경우는 논의 대상에서 제외함
(\dim), (\nu_p), 전체 미분 같은 여러 수학 연산이 로그와 같거나 가까운 구조를 가짐
이런 연결들은 “numerology”에 가까운 면이 있지만, 너무 깔끔해서 무시하기 어렵다는 입장임
물리학의 수학, 특히 양자역학의 연산자 형식에서도 비슷한 구조가 나타나며, 물리학은 수학적 표기와 좌표 선택에 제약을 줌
general covariance는 객체의 성질이 좌표 선택과 독립적이어야 한다는 생각이며, 밑 없는 로그도 곱셈적 표현과 덧셈적 표현의 동형을 단위 선택과 분리하려는 예로 볼 수 있음

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